2K-H差动轮系动力学建模与仿真

摘要：以2K-H 差动轮系为研究对象，计及时变啮合刚度的影响，建立了纯扭转振动动力学方程。以LMS Virtual.Lab Motion 为仿真平台，采用扭振模型描述非线性啮合力，建立了差动轮系虚拟样机模型，并进行仿真计算，并与理论计算值进行了对比验证，分析了啮合振动产生的原因。得到的关键零部件的载荷谱为差动轮系的强度校核、优化设计和疲劳寿命预测打下了基础。
关键词：2k-H 差动轮系；虚拟样机；时变啮合刚度；Virtual.Lab Motion.

引言

2K-H型差动轮系是周转轮系的最基本形式，广泛应用于差速器、变速器等机构中。差动轮系结构简图如图1所示，主要由齿圈、太阳轮、行星轮、行星架构成，自由度为2。以往学者对差动轮系的传递效率、功率流向等运动学特性进行了许多基础的研究[1~3]，但对于差动轮系的动力学特性研究不多。本文以2K-H差动轮系为研究对象，考虑各齿轮啮合的非线性因素，基于虚拟样机技术建立差动轮系的动力学模型并进行仿真分析。

图1 2K-H型差动轮系结构简图

1 动力学模型

差动轮系动力学模型用到如下几个假设[4]：

（1）将系统视为集中参数系统；
（2）各行星轮质量、转动惯量相同；
（3）忽略齿侧间隙的影响；
（4）仅考虑三个中心构件和各个行星轮的扭转振动，取逆时针方向为正。

差动轮系传动的纯扭振动力学模型如图2所示(图中未绘出阻尼符号)：

图2 2K-H差动轮系纯扭振动力学模型

图中：

kju —第j 个构件的回转支承刚度（ j = c, r, s分别代表行星架、齿圈、太阳轮）
krn —第n 个行星轮与内齿圈的时变啮合刚度（n=1,2,..., N ，下同）
ksn —第n 个行星轮与太阳轮的时变啮合刚度；
ψn —第n 个行星轮与水平方向的夹角；
ui —各个旋转件的扭转位移，ui = riθi ，式中ri，当i = c 时表示行星轮轴心到行星架几何轴心的距离；当i = r, s,1,2,..., N 时，则表示齿圈、太阳轮及各个行星轮的基圆半径；θi为相应个构件的扭转角位移。

根据牛顿第二定律建立系统的动力学方程：

式中：N 为行星轮个数，mp 为行星轮质量；ξ为阻尼系数； αr为内啮合角； αs为外啮合角；Ij为第j 个构件绕其几何中心的转动惯量；δsn为太阳轮与第n 个行星轮的相对位移沿外啮合线的投影，且知 δsn = us uc cosαs + un ；δrn为内齿圈与第n 个行星轮相对位移沿内啮合线方向的投影， 且知δrn=ur - uccosαr - un

2、虚拟样机建模

差动轮系虚拟样机建模的难点在于如何将动力学方程(1)中的时变啮合力考虑进来。目前解决齿轮啮合力的方式主要有三种：齿轮实体碰撞法、扭转振动法、有限元瞬态分析法。齿轮实体碰撞法基于Herz接触理论得到齿轮间啮合力，只考虑了轮齿间的接触变形，未能考虑轮齿的“悬臂梁效应”，且啮合力幅值对碰撞参数非常敏感。有限元瞬态分析法是目前计算啮合力最为精确的方法，但计算代价极高，不适合多对齿轮啮合的计算[5]。扭转振动法以齿轮系统动力学为基础，以沿啮合线方向的弹簧阻尼系统模拟啮合力，弹簧的刚度可随啮合状况变化，代表了齿轮的时变啮合刚度，仿真效率高，结果可信。

LMS Virtual.Lab Motion动力学仿真软件中的gear contact force是以扭转振动法为基础开发的齿轮啮合力模块，该模块以齿轮的几何参数和材料参数为输入条件，采用Y.CAI或ISO算法计算齿轮时变啮合刚度[6，7]，并根据齿轮转动惯量、扭转角位移、啮合阻尼计算啮合力大小，如图3所示。

图3 gear contact force 模块

为准确获得齿轮的转动惯量和质量，在CATIA中建立2K-H差动轮系的实体模型，齿轮参数如表1所示。将实体模型导入仿真环境，太阳轮、齿圈、行星架分别与大地通过旋转副相连，行星轮与行星架用旋转副相连，在太阳轮与各个行星轮之间施加gear contact force，齿圈与各个行星轮之间施加gear contact force，齿轮间啮合刚度时变，单齿最大啮合刚度采用ISO算法。太阳轮与齿圈中心施加驱动，行星架中心施加负载。建立好的虚拟样机模型如图4所示。

表1 2K-H差动轮系齿轮参数

图4 2K-H差动轮系虚拟样机模型

3、仿真分析

太阳轮驱动转速700r/min，齿圈驱动转速为1200r/min，行星架负载为800Nm，仿真步长为1e-5s，仿真时间1s。

各主要部件角速度如图5所示，由于啮合刚度的变化，即使输入转速为恒定值，输出转速仍有波动。输出转速均值为1046r/min，幅值为23.1r/min。输出转速均值与理论计算值（1047.22r/min）误差为0.11%，可认为样机建立是正确的。

图5 主要部件转速曲线

太阳轮与行星轮啮合力时域曲线如图6所示，可以看出即使在稳定外载的情况下，啮合力仍有很大的振动，但啮合力均值为理论计算值。频域曲线如图7所示，可以看出啮合力的振动以啮合频率(127Hz)为基频，附带有高次谐波，这与试验振动信号的频谱分析是相一致的。

行星轮轴承处受力如图9所示。

图9 行星轮轴承处作用力

通过仿真分析可以看出，考虑时变啮合刚度时，即使输入转速恒定，负载恒定，输出转速和啮合力也是振动的，且振动基频为啮合频率。通过该虚拟样机仿真得到齿轮啮合力、轴承负载等关键部位的载荷考虑了啮合振动因素，可为接下来的疲劳寿命预测提供了精确的载荷谱。

参考文献：
[1] 刘春荣. 2k—H 型差动轮系效率的简便计算[J]. 机械, 1998, 25(2): 31～32.
[2] 贾宝贤, 边文凤. 2K—H 差动轮系的功率流向与啮合效率[J]. 机械设计, 1999, 16(5): 33～36.
[3] 王成, 方宗德. 2K-H 型差动轮系传动效率简化计算的研究[J]. 北京联合大学学报：自然科学版, 2007, 21(2):23～26.
[4] 王世宇. 基于相位调谐的直齿行星齿轮传动动力学理论与实验研究[D].天津大学, 2006.
[5] Ziegler P., Eberhard Peter. Simulative and experimental investigation of impacts on gear wheels[J]. COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING, 2008, 0197(052): 4653～4662.
[6] Cai, Y. and Hayashi, T.: 1994, The linear approximated equation of vibration of a pair of spur gears (theory and experiment), The ASME Journal of Mechanical Design 116, 558 – 564.
[7] ISO Standard 6336-1, Calculation of Load capacity of Spur and Helical gears part 1: Basic Principles, Introduction and General Influence Factors