基于OptiStruct的齿轮拓扑优化

摘要：借助于Altair公司HyperWorks中OptiStruct模块，完成了对齿轮轮辐区的拓扑减重。介绍了OptiStruct拓扑模块用到的优化方法及原理，以及控制优化稳定收敛和可生产性的相关设置。优化结果减重效果明显，生产工艺简单。
关键词： OptiStruct，拓扑，齿轮，可生产性

概述

近几十年来，人们的日常生活正在向高度机械化发展，人类很多行为都在逐步被一些高精度的机械设备所代替，而机械传动装置是各种机械设备实现其基本价值不可或缺的部分，其中齿轮传动又是最重要的传动装置之一。据史料记载，远在公元前400~200年的中国古代就开始使用简单的齿轮传动，作为人类伟大的四大发明之一的指南针就是以齿轮传动为主要机械装置。而近代直到18世纪，欧洲工业革命以后，齿轮传动的应用得到了飞速发展，从摆线齿轮到渐开线齿轮，直到20世纪初，齿轮传动以其平稳性、精确性、高效性、长寿命等优点得到了广泛应用。

齿轮被定义为轮缘上有齿的、能够连续啮合传递运动和动力的机械元件。在近代的欧洲，很多人针对齿轮的齿形和齿数开展了大量的研究和改进工作。从最初的摆线齿轮到现在的渐开线齿轮，从圆柱齿轮、锥齿轮再到曲线齿轮，人们根据更加先进合理的理论设计初适用于各种工况的齿轮，最终形成了一套标准供后人去参考查询。到现在为止，齿轮的理论已经发展的较为成熟，现在机械设计时基本都是直接参考设计标准，从标准中选择合适的齿轮应用。这样做的好处在于标准齿轮生产工艺成熟、与其它齿轮等传到装置的配合简单。但是，考虑到航空航天等一些以减重为重要指标的设计行业，只是从标准中选择就显得有些古板，但是完全重新设计又涉及到整个传动系统的重新设计。本文以飞机上某折叠机构齿轮为模型，在不改变齿数、齿形等参数的情况下借助Altair公司的HyperWorks软件对齿轮的轮辐区进行了减重拓扑设计，目的在于不影响结构传递运动和力的前提下尽量减小齿轮重量。

HyperWorks自带的优化模块包含了丰富的优化设置，可以解决多种多样的从拓扑到尺寸的优化设计。本文需要用到OptiStruct模块来完成拓扑优化，OptiStruct采用变密度法的材料插值模型来定义材料的流动规律。通过OptiStruct中先进的近似法和可靠的优化算法可以搜索得到最优的加载路径设计方案。与此同时，OptiStruct还可以考虑优化模型的可加工性，如对称约束、铸造结构的拔模方向等。设计完成以后还可以使用OSSmooth工具将优化结果生成为IGES等格式的文件，再到CAD软件里进行设计。

1 OptiStruct的拓扑优化理论

上节已经说到OptiStruct通过使用变密度法定义材料的，下面以变密度法为例简单概述其原理。

对于变密度法，以每个单元的密度直接作为设计变量，在０～１之间连续变化。０和１分别代表这个单元完全删除和完全存在。基于这种方法，材料的刚度被假想成与密度成函数关系，对材料的表示与我们通常对材料的理解一致。通过改变低效率单元的设计变量（即密度）来实现单元的删减。同时为了保证不出现过多的中间单元和数值奇异现象，规定单元设计变量最小是一个很小的数字（例如０．０００１），并且使用合理的中间密度惩罚函数使设计变量尽量的向０和１靠拢。变密度法即适用于各向同性材料也适用于各向异性材料。

2 建模及网格划分

文中齿轮标准尺寸是按照齿轮传动设计手册查到的，是一个标准的渐开线齿轮。其基本参数如下：

结构几何参数：z=30, m=1;齿宽b=5mm
物理参数：弹性模量E=210GPa,泊松比v=0.3,密度p=7.85e3kg/m3

其标准模型的ＣＡＤ图如图１所示。最初的模型由CAD软件创建完成，再以IGS格式导入到HyperWorks工作平台。由于需要对轮辐区进行拓扑减重，标准齿轮中轮辐区的四个减重孔已经填平。图２给出的就是需要进行拓扑优化的完整模型。

图１标准齿轮模型图２优化设计齿轮模型

在HyperMesh模块完成网格的划分。由于考虑到键槽不可或缺，所以以键槽的最高点画圆将轮辐区切分成两个部分。与此同时，轮齿以及齿根凸台如果一起划分六面体网格，所得到的网格质量很差，因此在齿根部分也画圆切分。切分完成以后的模型见图３。除轮齿以外的三个部分采用六面体网格，轮齿采用四面体网格。网格划分完以后得到的模型如图４，可以看到网格质量较好。中间红色区域为本文所要优化的设计区。

图３完成切分的齿轮图４划分完网格的齿轮

3 优化设置及结果分析

齿轮模型的边界条件为在中间孔内壁和键槽与轮辐接触的两个侧面上的所有节点加固支约束，从而模拟通过键连接使齿轮和中轴（未画出）刚性连接。实际工况中需要给齿轮的一条啮合线上沿转动方向加320N.mm的扭矩，文中模型将这一载荷简化为一系列多个垂直于齿面且在某一条啮合线上的多个点载荷，其中每个点上的载荷大小由以下公式计算得到：

其中F为每个集中载荷的大小，N为集中载荷的个数，L为集中载荷作用点与转动中心的距离。其中L为15mm，N为17个，计算得到每个集中载荷的大小F为1.2549N。

拓扑优化设计区（图４中红色部分），非设计区为设计区以外的全部模型；约束设计区的剩余体积分数最大８０％， 最小２０％；优化目标取位移最大的点的total disp最小。此外，在约束卡片中还添加了对棋盘格现象和其它一些数值不稳定现象的控制如图５所示。

图５ 数值不稳定的设置

考虑到齿轮为旋转结构，如果材料分布不以重心对称就会产生很大的转动惯量，不利于系统受力，在优化的时候先以沿厚度方向和垂直面方向加了三面对称，优化后的结果如图６所示：

图６ 三面对称约束优化结果

此外，把三面约束换成周向循环对称约束同时考虑沿厚度中面向两侧的拔模约束，优化后的结果如７图所示：

图７ 循环对称约束优化结果

三面约束的结果比初始优化模型减重40%，优化后的轮辐区与已有的一些标准齿轮有相似之处，但文中模型在保证传力和运动的前提下减重效果更好。再者，轮辐区可以单独进行生产，对该模型进行一定的广顺和圆整，就可以使用铣切甚至铸造的方式获得。如果将轮辐区单独生产，再通过螺钉等连接形式进行装配，那么生产工艺将更加简单，该模型的适应性也将大大提高。

相比而言，循环对称约束的结果减重达到65%，优化后的轮辐区呈现飞盘状。旋转结构采用这样的材料分布形式的合理性已经被很多实际存在的结构所证实。再者，该优化结果更适合通过铸造来加工制造，生产工艺也比较简单。

总结

本文通过使用OptiStruct完成了对齿轮结构的拓扑优化设计，通过加载不同的对称约束，在保证传递运动和力的前提下分别减重40%和65%，效果相当明显。且优化结果生产工艺难度并未增加。本文的主旨在于抛砖引玉，以一个小齿轮的优化为引子，来说明使用OptiStruct对很多标准结构在选用的时候可以根据实际情况做一定的改进和减重设计，这样打破常规，往往能够获得意外的好结果。HyperWorks软件集成的工具还有很多，不过从本文简单的算例中已能看出其实用性和准确性，其工程使用价值是很大的。

参考文献
[1]张胜兰等编《基于HyperWorks应用实例》
[3] HyperWorksUsersManual, Tutorials:Altair
[4]王春会 连续体结构拓扑优化设计 西北工业大学硕士学位论文2005
[5]张展主编《实用齿轮设计计算手册》机械工业出版社 2011