使用混合有限元边界积分法实现高效的辐射与散射仿真

有限元法(FEM)作为一种分析和设计工具，已广泛应用于天线、微波和信号完整性等众多电子工程领域。FEM求解器与其它矩量法(MoM)和时域有限差分法(FDTD)等数值方法相比拥有多项显著的优势。这些优势包括：能够处理复杂的非均匀和各向异性材料、能够借助四面体单元准确地描绘复杂几何形状、能够使用高阶基函数实现准确性、具有多种端口和入射波等激励方式。利用这些功能优势，FEM就能够以极高的准确性对波导结构进行建模。

但是，对于开放空间问题(例如天线向开放空间辐射的时候)，FEM求解器需要通过在人工截断的边界表面上设定辐射边界条件(RBC)，以便将无限域截断为有限域。两种广泛使用的RBC包括一阶吸收边界条件(ABC)和理想匹配层(PML)，后者通常情况下都能够提供最佳的准确性。两种方法都保留了FEM系统矩阵的稀疏性，但仅适用于凸起的辐射表面。两种都属于近似方法，都存在准确性问题，比如会产生来自辐射表面的非物理伪反射。这个问题可以通过增大RBC与辐射结构的间距，让反射降至可忽视的水平，来予以解决。

另一方面，积分方程(IE)法，比如MoM，则非常适合对位于匀质边界或无限大介质中的结构进行建模。其分析内核采用格林函数，可以在无穷远处采用Sommerfeld辐射条件。因此，不管是从内存占用，还是从CPU时间占用来说，对多个在空间上分离，互不相连的同质结构，IE求解器都毋庸置疑地成为更好的选择，因为它不需要对目标之间的空间进行详细的建模。

早在1990年，Yuan就已经成功实现了FEM求解器和IE求解器的混合算法，这个方法现普遍称为混合有限元边界积分方法(FEBI)。这种方法把边界积分：Sommerfeld辐射条件的MoM解，用作FEM解的截断边界，因此可以在理论上准确地处理远场辐射条件。这样就引出一系列有意思的特性，比如可用作任意形状的距离辐射体很近的全共形的辐射表面。

本文将介绍ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。该求解器得力于近期区域分解方法的进步。在现有的FEBI方法中，无限未知域被分割为两个互不重叠的域：一个有界FEM域和一个无界同质外部域。两个域间的耦合通过其交界面上的合适的边界条件加以考虑。

基于域分解的FEBI求解器

FEBI求解器首先将原始的目标域Ω分割为两个互不重叠的子域Ω1和Ω2，如图1所示。

图1：将目标域分解为FEM域和IE域

Ω1和Ω2之间的公共界面在FEM域中表达为δΩ1，在IE域中表达为δΩ2。这种区分是必要的，因为现有的公式允许两个域间的非共形耦合。也就是说，可以分开处理各个域的网格剖分、基函数和基函数阶数、矩阵建立和求解过程。对于一个稳健的FEBI求解器来说，能够以模块化的方式处理每个域的不同基函数阶数是非常重要的，因为更高阶的IE求解器还在开发的过程中。

根据上述的域分解情况，可以写出如下最终的系统矩阵：

这里，AFE和ABI分别代表FEM域和BI域的系统矩阵。C是两个域之间的耦合矩阵。由于是通过界面上的电流和磁流来实现耦合的，因此这种耦合非常稀疏。等式2的解可以通过把下式拆分后迭代求得

然后用迭代法求得：

域分解法的优势可以从4式中清楚地看出。FEM域和BI域被去耦合了，因此并行化就很容易了。上文已经介绍过，BI可以在FEM中用作准确的截断边界。由于这种实现方式的模块化特征，可以轻松地实现先进的FEM求解器和IE求解器的混合求解。

应用

在本节中，将重点介绍使用这种混合方法的两个例子来突显FEBI的优势。如前文所述，一阶ABC可以用于足够大的有界共形空间，但这个空间不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近与模型的间距，但最适合于长方体有界区域。对混合FEBI技术来说，由于可以精确计算边界上电流和磁流的耦合，不用考虑这些外形和大小的约束问题。从这种新边界的测试显示可以看出，当间距为λ0/10的时候，能够实现速度和求解规模的最佳平衡5。这里λ0是开放空间中的波长。另外，FEBI边界可以做到完全共形，包括凹区域。另外，还可以把模型的各个部分独立闭合为单独的域，每个域都有一个BI边界。通过使用高度共形和分离空间的区域，可以大幅度缩小有限元求解域的范围，从而实现高效率的仿真。为证明这一点，下面将介绍两个例子，一个使用独立空间，一个使用高度共形边界表面。

第一个例子使用的是完全符合教科书的介质透镜6。透镜及其馈源喇叭如图2所示。透镜将来自于源天线的电磁场聚焦于正前方。仿真的透镜采用长方体波导管作为馈源，其εr=2.56，正面直径为4.4λ0。然后使用混合FEBI法对系统进行分离域的建模，馈源喇叭及周围的长方体空间作为一个域，透镜周围的圆锥形区域作为另一个域，每个分离空间的截断面采用BI边界。

为便于比较，同时采用了PML对该天线系统进行建模，为求得准确的答案，使用了一个更大的长方体空气盒子将整个模型包在内，并距离辐射体足够的距离以保证结果的准确。与采用PML仿真相比，FEBI模型使用的较小空间可以将内存的占用降低10倍。图中同时显示了两种仿真计算得出的电场的阴影图。如其显示，虽然FEBI仿真使用的分离空间较小，透镜和喇叭内外和周边的电磁场都得到了准确的计算，并与PML计算的结果吻合。喇叭的反射系数(Г)随与透镜的距离缩小而增大。在比较加透镜前后的喇叭端口反射时，两种仿真都显示Г有1.8dB的相同增长。图3是两种方法计算得出的该天线系统的前向方向图。再度体现出FEBI和PML之间的高度吻合。图2和图3说明FEBI在使用分离空间来确定天线系统的特性时，具有相当的准确性。

图2：采用矩形喇叭馈源的介质透镜

图3：透镜的辐射特性

第二个例子考查的是一组安装在复杂平台上的天线阵列(图4)。它是一个由螺旋天线组成的7元阵列，安装在卫星平台上。卫星两端之间的长度为18英尺，天线工作频率3.5GHz。由于这是一个大型模型，所以还是采用域分解法(DDM)来将FEM域分割为多个较小的域。7这种集成运载平台的天线系统之前曾采用标准的ABC进行仿真，使用大型闭合长方体空间。该模型闭合的空间的体积大约为21000λ，DDM将求解范围分解为34个域。仿真总共需要的存储为210GB RAM。

图4：安装在卫星上的螺旋天线阵列

FEBI仿真采用全共形的空间，该共形区域如图所示。闭合的空间体积下降到1200λ3。由于目标空间缩小，只需要在12个域上应用DDM，仿真只要21GB的RAM就足够了。相对于使用标准RBC求解，FEBI仿真所需的存储大小会大幅度减少。图5是两种仿真在同等幅度和相位激励下所有天线元的辐射特性，而两种特性实现了完美的吻合。使用FEBI对位于卫星上的等激励天线阵列仿真得出的三维极坐标方向图如图6所示。根据这个例子可以了解到，通过将FEBI与高度共形的有界域结合使用，可以在单个桌面计算机上能够完成大型复杂天线系统的仿真工作。

图5：安装在卫星上的天线阵列的辐射特性

图6：7元阵列同等激励下的辐射电磁场三维极化图

本文小结

混合FEBI是HFSS的FEM求解器中功能强大的新成员。设计工程师可以利用这种新技术将FEM仿真的优势与IE求解器在开放边界问题上的效率和准确性结合在一起。这个方法对共形区域、凹空间和独立空间都能取得相当的准确性，可以让用户缩小FEM求解域的范围，从而大幅度缩短求解时间和减少求解所需占用的内存。